Gaya dan Medan Gravitasi : Hukum Gravitasi Newton, Hukum Kepler, Kecepatan Satelit Mengelilingi Bumi, Pengukuran Konstanta Universal, Energi Potensial

Gaya dan Medan Gravitasi : Hukum Gravitasi Newton, Hukum Kepler, Kecepatan Satelit Mengelilingi Bumi, Pengukuran Konstanta Universal, Energi Potensial - Pada bab ini, Anda akan diajak untuk dapat menganalisis gejala alam dan keteraturannya dalam cakupan mekanika benda titik dengan cara menganalisis keteraturan gerak planet dalam tata surya berdasarkan Hukum-Hukum Newton. Gambar dibawah ini merupakan gambar orrery, yaitu suatu model mekanik tata surya yang tertata teratur. Semua benda yang berada di alam semesta telah diatur oleh Tuhan Yang Maha Kuasa agar selalu beredar teratur menurut orbitnya masing-masing.

Dalam Fisika, gaya yang berperan penting menjaga keteraturan gerak planet-planet dan interaksi antarbenda ini disebut gaya gravitasi. Gaya gravitasi ini sangat sulit diamati, jika massa objek pengamatannya jauh lebih kecil daripada massa planet-planet. Akibatnya, Anda akan sangat sulit mengetahui berapa besar gaya gravitasi yang terjadi antara Anda dan benda-benda di sekitar Anda. Namun, Anda akan dapat dengan mudah menentukan besar gaya gravitasi yang tercipta antara Bumi dan Bulan. Dalam pembahasan materi Bab ini, Anda akan mempelajari tentang gaya gravitasi dengan lebih rinci, melalui hukum-hukum yang dinyatakan oleh Johannes Kepler dan Isaac Newton.

A. Hukum-Hukum Kepler

Ilmu perbintangan atau astronomi telah dikenal oleh manusia sejak beribu-ribu tahun yang lalu. Sejak dahulu, gerakan bintang-bintang dan planet yang terlihat bergerak relatif terhadap Bumi telah menarik perhatian para ahli astronomi sehingga planet-planet dan bintang-bintang tersebut dijadikan sebagai objek penyelidikan. Hasil penyelidikan mereka mengenai pergerakan planet-planet dan bintang tersebut, kemudian dipetakan ke dalam suatu bentuk model alam semesta. Dalam perkembangannya, beberapa model alam semesta telah dikenalkan oleh para ahli astronomi.

Sebuah model alam semesta yang dikenalkan oleh Ptolomeus sekitar 140 Masehi, menyatakan bahwa Bumi berada di pusat alam semesta. Matahari dan bintang-bintang bergerak mengelilingi Bumi dalam lintasan lingkaran besar yang terdiri atas lingkaran-lingkaran kecil (epicycle). Model alam semesta Ptolomeus ini berdasarkan pada pengamatan langsung gerakan relatif bintang dan planet-planet yang teramati dari Bumi. Model alam semesta Ptolomeus ini disebut juga model geosentris.

Pada 1543 Masehi, Copernicus mengenalkan model alam semesta yang disebut model Copernicus. Pada model ini, Matahari dan bintang-bintang lainnya diam, sedangkan planet-planet (termasuk Bumi) bergerak mengelilingi Matahari. Hal ini dituliskannya melalui buku yang berjudul De revolutionibus orbium coelestium (Mengenai revolusi orbit langit). Model Copernicus ini disebut juga model heliosentris.

Model alam semesta selanjutnya berkembang dari model heliosentris. Tycho Brahe, seorang astronom Denmark, berhasil membuat atlas bintang modern pertama yang lengkap pada akhir abad ke–16. Model alam semesta yang dibuat oleh Tycho Brahe ini dianggap lebih tepat dibandingkan dengan model-model yang terdahulu karena model ini berdasarkan pada hasil pengamatan dan pengukuran posisi bintang-bintang yang dilakukannya di observatorium. Observatorium yang dibangun oleh Tycho Brahe ini merupakan observatorium pertama di dunia.

Penelitian Tycho Brahe ini, kemudian dilanjutkan oleh Johannes Kepler. Melalui data dan catatan astronomi yang ditinggalkan oleh Tycho Brahe, Kepler berhasil menemukan tiga hukum empiris tentang gerakan planet. Hukum Kepler tersebut dinyatakan sebagai berikut.

1. Hukum Pertama Kepler

Setiap planet bergerak pada lintasan elips dengan Matahari berada pada salah satu titik fokusnya.

2. Hukum Kedua Kepler

Garis yang menghubungkan Matahari dengan planet dalam selang waktu yang sama menghasilkan luas juring yang sama.

3. Hukum Ketiga Kepler

Kuadrat waktu edar planet (periode) berbanding lurus dengan pangkat tiga jarak planet itu dari Matahari.

dengan : 

T = periode planet mengelilingi Matahari, dan

r = jarak rata-rata planet terhadap Matahari.

Contoh Soal 1 :

Jika perbandingan jarak planet X ke Matahari dengan jarak Bumi ke Matahari 9 : 1, hitunglah waktu yang dibutuhkan oleh planet X untuk satu kali mengedari Matahari.

Kunci Jawaban :

Diketahui r_x : r_b = 9 : 1

Tokoh Fisika :

Johannes Kepler

(1571–1630)

Johannes Kepler adalah seorang pakar matematika dan astronomi yang berasal dari Jerman. Berkat kesungguhannya dalam melakukan penelitian, ia berhasil menemukan Hukum Kepler mengenai bentuk lintasan atau orbit planet-planet. Sumber: Jendela Iptek, 1997

B. Gaya Gravitasi

1. Hukum Gravitasi Newton

Gejala munculnya interaksi yang berupa gaya tarik-menarik antarbenda yang ada di alam ini disebut gaya gravitasi. Setiap benda di alam ini mengalami gaya gravitasi. Jika Anda sedang duduk di kursi, sedang berjalan, atau sedang melakukan kegiatan apapun, terdapat gaya gravitasi yang bekerja pada Anda. Gaya gravitasi merupakan gaya interaksi antar benda. Pernahkah Anda bertanya kenapa gaya gravitasi yang Anda alami tidak menyebabkan benda-benda yang terdapat di sekitar Anda tertarik ke arah Anda, atau sebaliknya? Di alam semesta, gaya gravitasi menyebabkan planet-planet, satelit-satelit, dan benda-benda langit lainnya bergerak mengelilingi Matahari dalam sistem tata surya dalam lintasan yang tetap.

Isaac Newton adalah orang pertama yang mengemukakan gagasan tentang adanya gaya gravitasi. Menurut cerita, gagasan tentang gaya gravitasi ini diawali dari pengamatan Newton pada peristiwa jatuhnya buah apel dari pohonnya. Kemudian, melalui penelitian lebih lanjut mengenai gerak jatuhnya benda-benda, ia menyimpulkan bahwa apel dan setiap benda jatuh karena tarikan Bumi.

Menurut Newton, gaya gravitasi antara dua benda merupakan gaya tarik-menarik yang berbanding lurus dengan massa setiap benda dan berbanding terbalik dengan kuadrat jarak antara benda tersebut. Secara matematis, pernyataan mengenai gaya gravitasi tersebut dituliskan sebagai berikut.

dengan : 

F = gaya gravitasi (N),

G = konstanta gravitasi = 6,672 × 10^–11 m³/kgs², dan

r = jarak antara pusat massa m₁ dan m₂ (m).

Catatan Fisika :

Ketika besaran vektor hanya menyatakan nilainya saja, besaran vektor tersebut harus dituliskan secara skalar, seperti terlihat pada contoh soal.

Contoh Soal 2 :

Tiga benda homogen masing-masing bermassa 2 kg, 3 kg, dan 4 kg, berturut-turut terletak pada koordinat (0, 0), (4, 0), dan (0, 4) dalam sistem koordinat Cartesius dengan satuan meter. Tentukanlah:

a. gaya gravitasi antara benda 2 kg dan 3 kg,

b. gaya gravitasi antara benda 2 kg dan 4 kg, dan

c. gaya gravitasi total pada benda 2 kg.

Kunci Jawaban :

Diketahui: m₁ = 2 kg di (0, 0), m₂ = 3 kg di (4, 0), dan m₃ = 4 kg di (0, 4).

a. Gaya gravitasi antara benda 2 kg dan 3 kg.

F₁ = 2,502 × 10^–11N

b. Gaya gravitasi antara benda 2 kg dan 4 kg.

F₂ = 3,336 × 10^–11N

c. Gaya gravitasi total pada benda 2 kg.

Benda bermassa 2 kg mengalami dua gaya sekaligus, yaitu F1 dan F2, seperti terlihat pada gambar. Gaya gravitasi total pada benda 2 kg adalah resultan gaya F1 dan F2, yaitu :

F = 4,170 × 10^–11 N

Tokoh Fisika :

Sir Isaac Newton

(1642–1727)

Newton lahir di Woolsthrope, Lincolnshire pada 25 Desember 1642. Banyak teori yang telah dihasilkannya melalui kerja keras, ketekunan, dan ketelitiannya dalam menyelidiki fenomena yang terjadi di lingkungan sekitarnya. Salah satu teorinya yang paling terkenal adalah teori tentang gerak, yaitu Hukum Newton dan teori tentang gaya gravitasi universal. Bukunya yang sangat terkenal adalah Principia. Ia meninggal di Kengsinton pada 20 Maret 1727 dan dimakamkan secara kenegaraan di Westminster Abbey. (Sumber: we .hao.ucar.edu)

Contoh Soal 3 :

Dua benda masing-masing bermassa 6 kg dan 3 kg berjarak 30 cm. Berapakah besar gaya tarik-menarik antara kedua benda tersebut?

Kunci Jawaban :

Diketahui: m₁ = 6 kg, m₂ = 3 kg, dan r = 30 cm.

F = 1,334 x 10⁻⁹N

Contoh Soal 4 :

Tiga benda masing-masing bermassa m_A = 4,5 kg, m_B = 2 kg, m_C = 8 kg kg terletak pada satu garis lurus. Berapakah besar gaya gravitasi yang dialami benda B yang terletak di antara benda A dan benda C, jika jarak AB = 30 cm dan jarak BC = 40 cm?

Kunci Jawaban :

Diketahui: m_A = 4,5 kg, m_B = 2 kg, m_C = 8 kg, r_AB= 30 cm, dan r_BC = 40 cm.

Sekarang akan ditunjukkan bahwa Hukum Gravitasi Newton menunjuk pada Hukum Ketiga Kepler untuk kasus khusus orbit lingkaran. Sebuah planet yang bergerak mengelilingi Matahari dengan kelajuan dalam orbit berjari-jari lingkaran mendapat gaya tarik dari Matahari yang arahnya ke pusat lingkaran sehingga planet tersebut memiliki percepatan sentripetal. Sesuai dengan Hukum Kedua Newton tentang gerak, didapatkan persamaan berikut.

F = ma

 

Untuk orbit berbentuk elips, variabel jari-jari diganti dengan jarak rata-rata antara planet dan Matahari.

2. Medan Gravitasi

Medan gravitasi adalah ruang yang masih dipengaruhi oleh gaya gravitasi. Besar medan gravitasi sama dengan gaya gravitasi setiap satuan massa. Secara matematis dituliskan sebagai berikut.

Dengan mengganti nilai F pada Persamaan (2–4) dengan persamaan gaya tarik gravitasi Persamaan (2–2), akan diperoleh :

Kuat medan gravitasi g sering disebut percepatan gravitasi dan merupakan besaran vektor. Apabila medan gravitasi tersebut ditimbulkan oleh lebih dari satu benda, kuat medan yang ditimbulkan oleh gaya-gaya tersebut pada suatu titik harus ditentukan dengan cara menjumlahkan vektor-vektor kuat medannya.

Contoh Soal 5 :

Pada titik sudut A dan titik sudut B dari sebuah segitiga sama sisi ABC disimpan benda bermassa m₁ dan m₂  Jika m₁ = m₂ dan kuat medan gravitasi di titik C oleh salah satu benda adalah g, tentukanlah kuat medan gravitasi di titik C yang disebabkan kedua benda tersebut.

Kunci Jawaban :

Diketahui m₁ = m₂ dan ABC = segitiga sama sisi. Medan gravitasi dititik C merupakan resultan dari medan gravitasi yang diakibatkan oleh m1 dan m2, masing-masing sebesar g.

Percepatan gravitasi di permukaan Bumi (jari-jari bumi = R) berbeda dengan percepatan gravitasi pada ketinggian tertentu (h) di atas permukaan Bumi. Jika percepatan gravitasi di permukaan Bumi g dan percepatan gravitasi pada ketinggian h di atas permukaan bumi g_a , maka hubungannya dapat ditentukan dari persamaan :

sehingga menghasilkan persamaan :

Contoh Soal 6 :

Percepatan gravitasi pada suatu tempat di permukaan Bumi adalah 10 m/s²  Tentukanlah percepatan gravitasi di tempat yang memiliki ketinggian R dari permukaan Bumi (R adalah jari-jari bumi).

Kunci Jawaban :

Diketahui: g_A = 10 m/s², dan h = R.

Percepatan gravitasi pada ketinggian R di atas permukaan Bumi adalah :

Contoh Soal 7 :

Dua benda bermassa masing-masing 4 kg dan 9 kg terpisah dengan jarak 10 m. Titik P berada pada garis hubung kedua benda. Jika medan gravitasi di titik P adalah nol, tentukanlah jarak titik P dari benda bermassa 4 kg.

Kunci Jawaban :

Diketahui: m₁ = 4 kg, m₂ = 9 kg, dan r = 10 m.

Dari soal dapat digambarkan kedudukan titik P terhadap kedua benda.

Agar medan gravitasi di titik P bernilai nol maka:

g₁ = g₂

G dicoret dan hasilnya diakarkan sehingga diperoleh :

20 – r₁ = 3r₁

r₁ = 5 m

3. Kecepatan Satelit Mengelilingi Bumi

Sebuah satelit berada pada ketinggian h di atas permukaan Bumi yang memiliki jari-jari R. Satelit tersebut bergerak mengelilingi Bumi dengan kecepatan v. Satelit mendapatkan gaya gravitasi sebesar mga yang arahnya menuju pusat Bumi, ketika satelit bergerak melingkar mengitari Bumi. Gaya yang bekerja pada sebuah benda yang sedang bergerak melingkar dan arahnya menuju pusat lingkaran disebut gaya sentripetal. Melalui penurunan persamaan gerak melingkar, diperoleh persamaan berikut.

Kecepatan satelit mengelilingi Bumi dapat dituliskan dengan persamaan:

Substitusikan besar g dari Persamaan (2–5) sehingga dihasilkan

Dengan demikian, kecepatan satelit saat mengelilingi Bumi dapat dituliskan dalam bentuk persamaan:

Contoh Soal 8 :

Sebuah satelit mengorbit Bumi pada jarak 3.600 km di atas permukaan Bumi. Jika jari-jari Bumi = 6.400 km, percepatan gravitasi dipermukaan Bumi g = 10 m/s2, dan gerak satelit dianggap melingkar beraturan, hitung kelajuan satelit dalam km/s.

Kunci Jawaban :

Satuan kelajuan yang diharapkan adalah km/s maka percepatan gravitasi di permukaan Bumi g harus diubah dulu dari m/s2 menjadi km/s2 dan diperoleh g = 0,01 km/s2. Kelajuan satelit mengorbit Bumi dapat dihitung dengan persamaan:

4. Pengukuran Konstanta Gravitasi Universal

Nilai tetapan semesta G yang sebelumnya tidak dapat ditentukan oleh Newton, ditentukan melalui percobaan yang dilakukan oleh seorang ilmuwan Inggris bernama Henry Cavendish pada 1798 dengan ketelitian sebesar 99%. Percobaan yang dilakukan Cavendish menggunakan sebuah neraca yang disebut Neraca Cavendish. Neraca tersebut dapat mengukur besar gaya putar yang diadakan pada lengan gayanya. Gambar berikut adalah sketsa dari peralatan Cavendish yang digunakan untuk mengukur gaya gravitasi antara dua benda kecil.

Untuk memahami prinsip kerja lengan gaya yang terdapat pada Neraca Cavendish, perhatikanlah Gambar 2.9 berikut .

Dua bola kecil, masing-masing dengan massa m1, diletakkan di ujung batang ringan yang digantungkan pada seutas tali halus. Di samping bola-bola kecil tersebut, digantungkan bola-bola besar dengan massa m2. Apabila tali penggantung massa m1 dipuntir dengan sudut sebesar θ dan besar m2, m1, serta jarak antara kedua massa itu (d ) diketahui, besarnya G dapat dihitung.

Beberapa metode dan alat ukur telah dikembangkan oleh para ilmuwan untuk mendapatkan nilai konstanta gravitasi yang lebih akurat. Walaupun G adalah suatu konstanta Fisika pertama yang pernah diukur, konstanta G tetap merupakan konstanta yang dikenal paling rendah tingkat ketelitiannya.

Hal ini disebabkan tarikan gravitasi yang sangat lemah sehingga dibutuhkan alat ukur yang sangat peka agar dapat mengukur nilai G dengan teliti. Hingga saat ini , nilai konstanta gravitasi universal G yang didapatkan oleh Cavendish, yaitu (6,70 ±0,48)× 10-11 Nm2/kg2 tidak jauh berbeda dengan nilai G yang didapat oleh para ilmuwan modern, yaitu 6,673 × 10-11 Nm2/kg2.

Tabel 2.1 berikut memperlihatkan nilai konstanta gravitasi universal G yang dihasilkan oleh beberapa ilmuwan serta metode yang digunakannya.

Tabel 2.1 Pengukuran G

5. Energi Potensial Gravitasi

Gaya gravitasi Bumi yang bekerja pada benda bermassa m yang terletak pada suatu titik di luar Bumi diberikan oleh persamaan :

Tanda negatif menunjukkan bahwa gaya F mengarah ke pusat Bumi. Usaha yang dihasilkan oleh gaya gravitasi jika benda bergerak langsung dari atau menuju pusat Bumi dari r = r1 ke r = r2 diberikan oleh :

Dengan membandingkan persamaan :

maka definisi yang tepat untuk energi potensial gravitasi adalah :

Tanda negatif menyatakan bahwa untuk membawa benda bermassa m ke tempat jauh tak terhingga dibutuhkan usaha atau energi sebesar :

Contoh Soal 9 :

Dua benda bermassa m dan 3m dipisahkan oleh suatu jarak a. Tentukan Energi potensial gravitasi sistem.

Kunci Jawaban :

Diketahui: m = m, M = 3m, r = a

Energi potensial gravitasi

Catatan Fisika :

6. Kecepatan Lepas dari Bumi

Apakah mungkin sebuah benda yang digerakkan atau ditembakkan vertikal ke atas tidak kembali ke Bumi? Jika mungkin terjadi, berapa kecepatan minimum benda tersebut saat di tembakkan agar terlepas dari pengaruh gravitasi Bumi? Untuk menjawab pertanyaan tersebut, perhatikanlah gambar sebuah roket yang sedang lepas landas pada Gambar 2.11 berikut.

Jika resultan gaya luar yang bekerja pada benda sama dengan nol, energi mekanik benda kekal. Secara matematis, Hukum Kekekalan Energi Mekanik dirumuskan :

EP1 + EK1 = EP2 + EK2

Agar roket lepas dari pengaruh gravitasi Bumi maka EP2 = 0, sedangkan kecepatan minimum roket diperoleh jika EK2 = 0. Dengan demikian, akan dihasilkan persamaan:

Oleh karena :

maka diperoleh persamaan kecepatan minimum roket agar dapat lepas dari gravitasi Bumi sebagai berikut :

dengan : 

r1 = jarak titik 1 ke pusat massa M, 

r2 = jarak titik 2 ke pusat massa M,

v1 = kecepatan benda di titik 1, dan 

v2 = kecepatan benda di titik (2).

Diasumsikan jarak titik 1 ke pusat massa sama dengan jari-jari Bumi (r1 = R).

Contoh Soal 10 :

Sebuah roket bermassa m ditembakkan vertikal dari permukaan Bumi. Tentukan kecepatan minimum roket ketika ditembakkan agar mencapai ketinggian maksimum R dari permukaan Bumi jika massa Bumi M dan jari-jari Bumi R.

Kunci Jawaban :

Pada saat roket mencapai ketinggian maksimum R, kecepatan roket v2 = 0. Dengan menggunakan persamaan Hukum Kekekalan Energi dan memasukkan harga v1 = v, v2 = 0, r1 = R dan r2 = R + R = 2R maka diperoleh :

Contoh Soal 11 :

Berapakah kecepatan minimum sebuah roket yang diluncurkan vertikal ke atas agar terlepas dari pengaruh gravitasi Bumi?

Kunci Jawaban :

Diketehui: G = 6,67 × 10–11 m3/kgs2, M = 5,97 × 1024 kg, dan R = 6,38 × 106 m.

Contoh Soal 12 :

Jarak antara Matahari dan Bumi adalah 1,5 × 108 km, sedangkan jarak antara Matahari dan Neptunus adalah 4,5 × 109 km. Periode Neptunus mengelilingi Matahari adalah 165 tahun dan massa Neptunus adalah 18 kali massa Bumi. Jika besar gaya gravitasi pada Bumi oleh Matahari adalah F dan kelajuan Bumi mengelilingi Matahari adalah v, gaya gravitasi pada Neptunus oleh Matahari serta kelajuan Neptunus adalah ....

Kunci Jawaban :

Diketahui: 

rB = 1,5 × 108 km, 

rN = 4,5 × 109 km, 

rN = 30 rB,

TN = 165 tahun, dan 

mN = 18 mB.

Gaya gravitasi pada planet oleh Matahari:

Perbandingan gaya gravitasi Neptunus dengan Bumi.

Kecepatan orbit planet:

Perbandingan kecepatan orbit Bumi dengan Neptunus:

Jawab: b